Model Matematika

Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.

Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.

Pada mesin I : 2x + 5y ≤ 800 …. Persamaan 1
Pada mesin II : 8x + 4y ≤ 800 .… Persamaan 2
Pada mesin III : 10 x ≤ 800 .… Persamaan 3
x, y bilangan asli : x ≥ 0, y ≥ 0 .… Persamaan 4

Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear

Definisi: Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Readmore

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk:

a1x + a2y = b 

Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, … , xn dalam bentuk berikut.

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real.

Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut.

a11x1+ a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
…...............
…..............
an1x1 + an2x2 + . . . + amnxn = bn

dengan x1, x2, . . ., xn adalah variabel.
a11, a12, . . ., a1n, a21, a22, . . ., a2n, . . ., amn  adalah konstanta real.

Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda “=” diganti dengan “≤”, “<”, “>”, “≥” Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskan sebagai berikut. Misalnya, kalian menggambar garis x + y + = -2 dapat digambarkan sebagai berikut

Garis x + y = -2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x + y < -2 dan daerah x + y > -2.
Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut. Didapat, 0 + 0 = 0 > -2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x + y > -2. Daerah x + y > -2 ini diarsir seperti pada gambar berikut.

Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x, y ≤ 0, maka diperoleh gambar seperti berikut.

Daerah yang diarsir berupa daerah segitiga. Tampak bahwa daerah ini merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear x + y ≥ -2, x ≤ 0, dan y ≤ 0.
Untuk selanjutnya, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear ini disebut daerah penyelesaian.

Readmore