Model Matematika

Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.

Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.

Pada mesin I : 2x + 5y ≤ 800 …. Persamaan 1
Pada mesin II : 8x + 4y ≤ 800 .… Persamaan 2
Pada mesin III : 10 x ≤ 800 .… Persamaan 3
x, y bilangan asli : x ≥ 0, y ≥ 0 .… Persamaan 4

Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear

Definisi: Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Readmore

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk:

a1x + a2y = b 

Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, … , xn dalam bentuk berikut.

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real.

Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut.

a11x1+ a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
…...............
…..............
an1x1 + an2x2 + . . . + amnxn = bn

dengan x1, x2, . . ., xn adalah variabel.
a11, a12, . . ., a1n, a21, a22, . . ., a2n, . . ., amn  adalah konstanta real.

Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda “=” diganti dengan “≤”, “<”, “>”, “≥” Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskan sebagai berikut. Misalnya, kalian menggambar garis x + y + = -2 dapat digambarkan sebagai berikut

Garis x + y = -2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x + y < -2 dan daerah x + y > -2.
Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut. Didapat, 0 + 0 = 0 > -2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x + y > -2. Daerah x + y > -2 ini diarsir seperti pada gambar berikut.

Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x, y ≤ 0, maka diperoleh gambar seperti berikut.

Daerah yang diarsir berupa daerah segitiga. Tampak bahwa daerah ini merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear x + y ≥ -2, x ≤ 0, dan y ≤ 0.
Untuk selanjutnya, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear ini disebut daerah penyelesaian.

Readmore

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi 2 Kurva jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan |f(y)| ≥ |g(y)| pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y, maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.


Contoh Soal:
 

Readmore

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi 2 Kurva jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan |f(x)| ≥ |g(x)| pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x, maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.

Contoh Soal:
 

Readmore

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x = f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.

Readmore

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis

V = A . h

Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampangpenampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu. Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagi a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.

Readmore

Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], maka luas daerah S adalah

Contoh Soal:
 

Readmore

Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Luas merupakan limit suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu. Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.


Contoh Soal:
 

Readmore

Teorema Dasar Kalkulus - Integral Tertentu

Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.


Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut.

Readmore

Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah - Integral Tertentu

Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut.


Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:


Dengan memilih maka , sehingga akan diperoleh luas daerah yang dibatasi kurva , sumbu-x, garis x = 0, dan x = 3 sebagai berikut.



Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya adalah fungsi.

Readmore

Contoh soal Integral dengan Bentuk Akar beserta penyelesaiannya

Readmore

Integral dengan Bentuk Akar

Pengintegralan bentuk-bentuk dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x = a sin t, x = a tan t , x = a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.

Readmore

Aturan Integral Substitusi Beserta contoh soalnya

Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.


Pembuktian Teorema 7

Readmore

Pembuktian Teorema Integral

Pembuktian Teorema Integral beserta contoh soalnya



Pembuktian Teorema 7 bisa dilihat di Aturan Integral Substitusi

Readmore

Beberapa Teorema dalam Integral

Pengertian Integral Tak Tentu dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.

Readmore

Integral Tak Tentu

Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval [a, b] sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c.
Secara matematis, ditulis




Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c).

Readmore

Contoh Soal Integral

Berikut ini adalah contoh soal Integral beserta cara pengerjaannya

Readmore

Pengertian Integral

Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

Readmore